Правила Рубина (Rubin’s rules)

Правила Рубина (Rubin’s rules) — это набор формул, предложенных Дональдом Рубином, для объединения результатов статистического анализа, полученных на нескольких заполненных наборах данных (например, после множественной импутации MICE). Они позволяют получить одну итоговую оценку параметра и корректную стандартную ошибку, учитывающую неопределённость из-за пропусков.

Обозначения

Пусть после множественной импутации получено $m$ полных наборов данных. Нас интересует некоторый параметр $Q$ (например, коэффициент регрессии). Для каждого набора $j=1,\dots ,m$:

• $q_j$ — оценка параметра;
• $u_j$ — дисперсия этой оценки (квадрат стандартной ошибки).

Основные формулы

1. Объединённая оценка:

$$\bar{q}=\frac{1}{m}\sum _{j=1}^m{q}_j$$

2. Средняя внутриимпутационная дисперсия:

$$\bar{U}=\frac{1}{m}\sum _{j=1}^m{u}_j$$

3. Межимпутационная дисперсия:

$$B=\frac{1}{m-1}\sum _{j=1}^m(q_j-\bar{q}{)}^2$$

4. Общая дисперсия:

$$T=\bar{U}+\left(1+\frac{1}{m}\right)B$$

Множитель $(1+1/m)$ добавляет поправку на конечное число импутаций.

5. Стандартная ошибка:

$$SE=\sqrt{T}$$

6. Доверительный интервал:

$$\bar{q}\pm t_{\nu ,1-\alpha /2}\cdot \sqrt{T}$$

где $\nu$ — степени свободы, а $t$ — распределение Стьюдента.

7. Степени свободы (классическая формула Рубина):

$$\nu =(m-1){\left(1+\frac{\bar{U}}{(1+1/m)B}\right)}^2$$

На практике часто используют поправку Барнарда—Рубина (реализована, например, в mice в R), которая даёт более точные результаты при малых выборках.

8. Тестовая статистика:

$$t=\frac{\bar{q}}{\sqrt{T}}$$

сравнивается с $t$-распределением с $\nu$ степенями свободы.

Доля пропущенной информации

Важный побочный результат — доля информации, потерянной из-за пропусков (Fraction of Missing Information, FMI):

$$\lambda =\frac{(1+1/m)B}{T}$$

Она показывает, какая часть общей дисперсии обусловлена неопределённостью импутации. Также вычисляют относительное увеличение дисперсии:

$$r=\frac{(1+1/m)B}{\bar{U}}$$

Зачем это нужно

Если просто заполнить пропуски один раз (одиночная импутация), стандартные ошибки и $p$-значения оказываются заниженными — мы делаем вид, что точно знаем пропущенные значения. Множественная импутация создаёт несколько вариантов, а правила Рубина корректно «раздувают» дисперсию, отражая дополнительную неопределённость.

Условия применения

• Импутационная модель должна быть правильной (данные пропущены случайно, MAR).
• Число импутаций $m$ должно быть достаточно большим. Обычно берут $m=5$–$20$, но при высокой доле пропусков — $20$–$100$.
• Правила обобщаются на векторы параметров и ковариационные матрицы (многомерный случай).

Таким образом, правила Рубина — это мост между множественной импутацией и итоговым статистическим выводом.