Различие между двумя формами закона больших чисел

Различие между двумя формами закона больших чисел — это краеугольный камень понимания теории вероятностей.

Краткий ответ

• Обычный ЗБЧ говорит: “Для большого числа испытаний среднее значение скорее всего будет близко к математическому ожиданию”.
• Усиленный ЗБЧ говорит: “Для большого числа испытаний среднее значение гарантированно станет и навсегда останется близким к математическому ожиданию”.

Основное различие — в типе сходимости: обычный ЗБЧ использует сходимость по вероятности, а усиленный — почти наверняка.

---

Подробное объяснение

Давайте представим, что мы бросаем честную монету ($P(орёл)=0.5$) и следим за средней частотой выпадения орлов.

1. Обычный (слабый) закон больших чисел

Формулировка (упрощенно): При неограниченном увеличении числа бросков $n$ вероятность того, что средняя частота орлов ${\bar{A}}_n$ отклонится от 0.5 больше чем на маленькое число $\epsilon$, стремится к нулю.

На языке математики: $\forall \epsilon >0,{\lim }_{n\to \infty }P(|{\overline{X}}_n-\mu |>\epsilon )=0$

Это сходимость по вероятности.

Что это значит на практике? Если вы сделаете один очень длинный эксперимент из $N$ бросков (например, $N=1000000$), то с очень высокой вероятностью частота орлов в этой серии будет близка к 0.5.

Но что насчет других экспериментов? Обычный ЗБЧ не запрещает существование каких-то других, альтернативных серий бросков (пусть и очень маловероятных), где частота орлов будет, скажем, 0.8. Он лишь говорит, что вероятность таких серий стремится к нулю.

---

2. Усиленный (сильный) закон больших чисел

Формулировка (упрощенно): При неограниченном увеличении числа бросков $n$ средняя частота орлов ${\bar{A}}_n$ почти наверняка сходится к 0.5.

На языке математики:

$P\left({\lim }_{n\to \infty }{\overline{X}}_n=\mu \right)=1$

Это сходимость почти наверняка (почти всюду).

Что это значит на практике? Это более сильное утверждение. Оно говорит, что если мы рассмотрим всю бесконечную последовательность бросков (всю “историю Вселенной” для этой монеты), то в этой бесконечной последовательности частота орлов не просто вероятно, а гарантированно достигнет 0.5 и больше никогда от нее не отклонится на сколь-либо значительную величину.

Те самые “альтернативные” серии, которые допускал обычный ЗБЧ, УЗБЧ объявляет “несущественными”: их совокупная вероятность равна нулю. В почти любой мыслимой бесконечной последовательности бросков закон выполняется.

---

Сравнительная таблица

Аспект	Обычный ЗБЧ (Слабый)	Усиленный ЗБЧ (Сильный)
Формулировка	”Скорее всего, будет близко"	"Гарантированно станет и останется близким”
Тип сходимости	Сходимость по вероятности	Сходимость почти наверняка
Объект утверждения	Один большой фиксированный эксперимент	Вся бесконечная последовательность экспериментов
Математическая запись	${\lim }_{n\to \infty }P(\Vert {\overline{X}}_n-\mu \Vert >\epsilon )=0$	$P({\lim }_{n\to \infty }{\overline{X}}_n=\mu )=1$
Аналогия	Фотография: Запечатлела, что в момент времени N всё было близко к ожидаемому.	Видео: Показывает, что после некоторого момента N всё всегда остается близким к ожидаемому.

Вывод

Усиленный закон больших чисел является более строгим и сильным утверждением, чем обычный. Из сходимости почти наверняка всегда следует сходимость по вероятности, но не наоборот.

На практике для многих инженерных и статистических задач (где мы имеем дело с конечными, хотя и большими, выборками) разница не столь существенна. Однако для теоретического фундамента математики и для понимания поведения бесконечных последовательностей УЗБЧ является ключевым результатом, который дает полную уверенность в устойчивости средних значений.