Собственные значения матрицы

Собственные значения матрицы (eigenvalues) — это фундаментальное понятие линейной алгебры, которое играет ключевую роль в анализе линейных преобразований и матриц.

Формальное определение

Для квадратной матрицы $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ число $\lambda \in \mathbb{C}$ называется собственным значением, если существует ненулевой вектор $v\in {\mathbb{C}}^n$, называемый собственным вектором, такой что:

$$Av=\lambda v$$

Интерпретация:

• Матрица $A$ действует на вектор $v$ и производит тот же самый вектор, умноженный на скаляр $\lambda$
• Направление $v$ не меняется, только масштаб
• Собственное значение $\lambda$ показывает, во сколько раз растягивается или сжимается вектор

---

Как найти собственные значения?

1. Характеристическое уравнение

Собственные значения находятся как корни характеристического многочлена:

$$\det (A-\lambda I)=0$$

где:

• $I$ — единичная матрица того же размера, что и $A$
• $\det$ — определитель матрицы

2. Пример для матрицы 2×2

Для матрицы $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$:

$$A-\lambda I=\left(\begin{array}{cc}a-\lambda & b\\ c& d-\lambda \end{array}\right)$$

Характеристическое уравнение:

$$\det (A-\lambda I)=(a-\lambda )(d-\lambda )-bc=0$$

Раскрывая:

$${\lambda }^2-(a+d)\lambda +(ad-bc)=0$$

---

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим матрицу как линейное преобразование:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# Пример: матрица растяжения
A = np.array([[2, 0], [0, 0.5]])
 
# Собственные векторы и значения
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
 
print("Собственные значения:", eigenvalues)  # [2.0, 0.5]
print("Собственные векторы:")
print(eigenvectors)  # [[1, 0], [0, 1]]

Результат:

• Вдоль оси X вектор растягивается в 2 раза (${\lambda }_1=2$)
• Вдоль оси Y вектор сжимается в 2 раза (${\lambda }_2=0.5$)

---

Важные свойства и теоремы

1. Спектральная теорема

Для симметричной матрицы $A=A^T$:

• Все собственные значения вещественные
• Собственные векторы можно выбрать ортогональными

2. След и определитель

• След матрицы равен сумме собственных значений: $$\text{tr}(A)={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n$$
• Определитель равен произведению собственных значений: $$\det (A)={\lambda }_1\cdot {\lambda }_2\cdot \cdots \cdot {\lambda }_n$$

3. Теорема Кэли-Гамильтона

Матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению:

$$p(A)=0$$

где $p(\lambda )=\det (A-\lambda I)$

---

Пример вычисления

Найдем собственные значения матрицы:

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$$

Шаг 1: Характеристическое уравнение

$$\det (A-\lambda I)=\det \left(\begin{array}{cc}4-\lambda & 1\\ 2& 3-\lambda \end{array}\right)=0$$

Шаг 2: Вычисляем определитель

$$(4-\lambda )(3-\lambda )-2\cdot 1={\lambda }^2-7\lambda +10=0$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение

$${\lambda }_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{49-40}}{2}=\frac{7\pm 3}{2}$$ $${\lambda }_1=5,{\lambda }_2=2$$

Шаг 4: Находим собственные векторы

Для ${\lambda }_1=5$:

$$(A-5I)v=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -2\end{array}\right)v=0$$

Решение: $v_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$

Для ${\lambda }_2=2$:

$$(A-2I)v=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\right)v=0$$

Решение: $v_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$

---

Приложения в различных областях

1. Физика

• Колебательные системы: собственные частоты
• Квантовая механика: энергетические уровни
• Теория упругости: главные напряжения

2. Машинное обучение

• PCA (Principal Component Analysis): собственные векторы ковариационной матрицы задают главные компоненты
• PageRank: собственный вектор матрицы связей

3. Динамические системы

• Устойчивость решений: если все $|{\lambda }_i|<1$, система устойчива
• Если $|{\lambda }_i|>1$ для некоторого $i$, система неустойчива

4. Теория графов

• Спектр матрицы смежности содержит информацию о структуре графа

---

Особые случаи

1. Вырожденная матрица

Если $\det (A)=0$, то хотя бы одно собственное значение равно 0.

2. Положительно определенная матрица

Все собственные значения положительны.

3. Ортогональная матрица

Все собственные значения по модулю равны 1.

---

Численные методы

Для больших матриц используются:

• QR-алгоритм
• Степенной метод (для наибольшего собственного значения)
• Обратный степенной метод (для наименьшего собственного значения)

# Практический пример в Python
import numpy as np
 
A = np.array([[4, 1, 2],
              [1, 3, 1], 
              [2, 1, 5]])
 
# Вычисление собственных значений и векторов
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
 
print("Собственные значения:", eigenvalues)
print("Собственные векторы:")
print(eigenvectors)
 
# Проверка: A*v = λ*v
for i in range(len(eigenvalues)):
    v = eigenvectors[:, i]
    λ = eigenvalues[i]
    print(f"Проверка для λ_{i}: {np.allclose(A @ v, λ * v)}")

Собственные значения — это мощный инструмент для анализа матриц и линейных преобразований, раскрывающий их фундаментальные свойства и поведение.