Статистика

Статистика — это наука о сборе, анализе, интерпретации и представлении данных, а также о принятии решений в условиях неопределенности.

Основные аспекты статистики

1. Два основных раздела

Описательная статистика (Descriptive Statistics)

Описывает и суммирует основные характеристики набора данных:

• Меры центральной тенденции: $\bar{x}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n}\text{(среднее арифметическое)}$

  x_{(\frac{n+1}{2})} & \text{если } n \text{ нечетное} \\ \frac{x_{(\frac{n}{2})} + x_{(\frac{n}{2}+1)}}{2} & \text{если } n \text{ четное} \end{cases}$$

• Меры изменчивости: $s^2=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}\text{(выборочная дисперсия)}$

$s=\sqrt{s^2}\text{(стандартное отклонение)}$

Инференционная статистика (Inferential Statistics)

Делает выводы о генеральной совокупности на основе выборки:

• Доверительные интервалы:

$\bar{x}\pm t_{\alpha /2,n-1}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

• Проверка гипотез:

$t=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}\text{(t-статистика)}$

Ключевые концепции статистики

1. Данные и переменные

• Количественные (числовые): дискретные и непрерывные
• Качественные (категориальные): номинальные и порядковые

2. Вероятностные распределения

• Нормальное распределение:

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

• Биномиальное распределение:

$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$

3. Основные принципы

• Закон больших чисел: Среднее выборки сходится к математическому ожиданию
• Центральная предельная теорема: Распределение выборочного среднего стремится к нормальному

Процесс статистического исследования

1. Постановка задачи → Формулировка исследовательского вопроса
2. Планирование исследования → Дизайн эксперимента, определение выборки
3. Сбор данных → Наблюдение, эксперименты, опросы
4. Обработка и анализ → Описательная и инференционная статистика
5. Интерпретация и выводы → Формулировка результатов и рекомендаций

Области применения статистики

Область	Применение
Медицина	Клинические испытания, эпидемиология
Экономика	Макроэкономические показатели, прогнозирование
Социология	Опросы общественного мнения
Психология	Психометрические тесты
Бизнес	Анализ рынка, контроль качества
Машинное обучение	Статистическое обучение, A/B тестирование

Важность статистики

Для принятия решений:

• Основа для доказательных решений
• Помогает отделить сигнал от шума
• Позволяет количественно оценивать неопределенность

В науке:

• Проверка гипотез
• Валидация результатов
• Обобщение выводов

Примеры статистических методов

Регрессионный анализ:

$Y={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+\epsilon$

Дисперсионный анализ (ANOVA):

$F=\frac{\text{межгрупповая дисперсия}}{\text{внутригрупповая дисперсия}}$

Байесовская статистика:

$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$

Современные вызовы

• Большие данные (Big Data)
• Проблема воспроизводимости
• Этика сбора и использования данных
• Статистическая грамотность

Заключение

Статистика — это не просто набор формул, а образ мышления, который позволяет:

• Извлекать знания из данных
• Принимать обоснованные решения в условиях неопределенности
• Критически оценивать утверждения, основанные на данных

Как сказал математик Роналд Фишер: “Статистика — это наука о том, как делать выводы в условиях неопределенности”.