Статистическая гипотеза

Статистическая гипотеза — это предположение или утверждение о параметрах распределения генеральной совокупности или о характере распределения, которое можно проверить статистическими методами на основе выборочных данных.

Основные понятия

1. Нулевая гипотеза (H₀)

Предположение об отсутствии эффекта, различий или связи. Обычно представляет статус-кво.

$H_0:\mu ={\mu }_0\text{или}{H}_0:{\mu }_1={\mu }_2$

2. Альтернативная гипотеза (H₁ или Hₐ)

Предположение, противоположное нулевой гипотезе. То, что мы пытаемся доказать.

$H_1:\mu \ne {\mu }_0\text{(двусторонняя)}$

$H_1:\mu >{\mu }_0\text{или}{H}_1:\mu <{\mu }_0\text{(односторонняя)}$

Классификация статистических гипотез

По типу утверждения:

• Параметрические — о значениях параметров распределения $H_0:\mu =100,H_0:{\sigma }^2=25$

• Непараметрические — о виде распределения

$H_0:\text{распределение нормальное}$

По количеству условий:

• Простая — полностью определяет распределение

• Сложная — содержит несколько возможных вариантов

$H_0:\mu \le 0$

Процесс проверки гипотез

1. Формулировка гипотез

H₀: Новый препарат не эффективнее плацебо
H₁: Новый препарат эффективнее плацебо

2. Выбор уровня значимости (α)

Вероятность отвергнуть верную нулевую гипотезу (ошибка I рода).

$\alpha =P(\text{отклонить }{H}_0|H_0\text{ верна})$

Обычно α = 0.05, 0.01, 0.001

3. Расчет тестовой статистики

Зависит от типа гипотезы:

t-статистика для средних:

$t=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$

z-статистика (при известной дисперсии):

$z=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$

χ²-статистика для дисперсии: ${\chi }^2=\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}$

4. Принятие решения

Через критическую область:

Если |tнабл| > tкрит, то отвергаем H₀

Через p-value:

$\text{Если }p\text{-value}<\alpha \Rightarrow \text{отвергаем }{H}_0$

где p-value — вероятность получить такие или более крайние результаты при условии, что H₀ верна.

Пример проверки гипотезы

Задача: Проверить, отличается ли средний рост студентов от 175 см.

Данные: n = 25, $\bar{X}=178$, s = 5

1. Формулируем гипотезы:

$H_0:\mu =175$

$H_1:\mu \ne 175$

2. Уровень значимости: α = 0.05

3. Рассчитываем t-статистику:

$t=\frac{178-175}{5/\sqrt{25}}=\frac{3}{1}=3.0$

4. Сравниваем с критическим значением:

$t_{крит}(24;0.025)=2.064$ $|t_{набл}|=3.0>2.064\Rightarrow \text{отвергаем }{H}_0$

Ошибки при проверке гипотез

	H₀ верна	H₀ неверна
Не отвергаем H₀	Правильное решение	Ошибка II рода (β)
Отвергаем H₀	Ошибка I рода (α)	Правильное решение (1-β)

Мощность теста: $\text{Мощность}=1-\beta =P(\text{отклонить }{H}_0|H_0\text{ неверна})$

Распространенные статистические тесты

Для средних:

• t-тест — для одной или двух выборок
• ANOVA — для трех и более групп

Для дисперсий:

• F-тест — сравнение дисперсий двух выборок
• Тест Левена — проверка гомоскедастичности

Для распределений:

• χ² тест — соответствие распределения
• Тест Колмогорова-Смирнова — согласие с теоретическим распределением

Для связи:

• Корреляционный анализ
• Тест на независимость χ²

Практические рекомендации

1. Всегда формулируйте гипотезы до сбора данных
2. Выбирайте уровень значимости априори
3. Учитывайте мощность теста при планировании размера выборки
4. Интерпретируйте p-value правильно — это не вероятность того, что H₀ верна
5. Всегда сообщайте доверительные интервалы вместе с p-value

Важность в научных исследованиях

Статистические гипотезы лежат в основе:

• Научного метода — проверка теорий
• Медицинских исследований — клинические испытания
• Социологии — анализ опросов
• Экономики — проверка экономических моделей
• Машинного обучения — A/B тестирование

Статистическая гипотеза — это не просто формальность, а фундаментальный инструмент научного познания, позволяющий делать объективные выводы в условиях неопределенности.