RMSLE (Root Mean Squared Logarithmic Error)

RMSLE (Root Mean Squared Logarithmic Error) — это корень из среднеквадратичной логарифмической ошибки. Это мощная метрика, особенно полезная для специфических типов данных.

Что такое RMSLE?

RMSLE — это метрика, которая измеряет разницу между логарифмами фактических и предсказанных значений. Она менее чувствительна к большим выбросам, чем RMSE, и обладает интересными свойствами для работы с данными, имеющими большой разброс.

Формула RMSLE

RMSLE = √[ (1/n) × Σ (log(yᵢ + 1) - log(ŷᵢ + 1))² ]

Или эквивалентно:

RMSLE = √[ (1/n) × Σ (log((yᵢ + 1)/(ŷᵢ + 1)))² ]

Где:

• yᵢ — фактическое значение
• ŷᵢ — предсказанное значение
• log — натуральный логарифм (обычно)
• n — количество наблюдений

---

Как рассчитывается RMSLE? Простой пример

Рассмотрим прогноз продаж:

Факт (yᵢ)	Прогноз (ŷᵢ)	log(yᵢ + 1)	log(ŷᵢ + 1)	Разность²
100	90	log(101) ≈ 4.615	log(91) ≈ 4.511	(0.104)² ≈ 0.0108
1000	1200	log(1001) ≈ 6.909	log(1201) ≈ 7.090	(-0.181)² ≈ 0.0328
50	70	log(51) ≈ 3.932	log(71) ≈ 4.263	(-0.331)² ≈ 0.1096
200	180	log(201) ≈ 5.303	log(181) ≈ 5.198	(0.105)² ≈ 0.0110

Расчет RMSLE:

1. Сумма квадратов разностей: 0.0108 + 0.0328 + 0.1096 + 0.0110 = 0.1642
2. Среднее значение: 0.1642 / 4 = 0.04105
3. Квадратный корень: √0.04105 ≈ 0.2026

---

Ключевые особенности RMSLE

1. Асимметричность штрафов

RMSLE по-разному наказывает за занижение и завышение прогноза:

• Сильнее штрафует за занижение (когда ŷᵢ < yᵢ)
• Меньше штрафует за завышение (когда ŷᵢ > yᵢ)

Пример:

• Факт: 100, Прогноз: 50 → большая ошибка
• Факт: 100, Прогноз: 150 → меньшая ошибка

2. Относительная, а не абсолютная ошибка

RMSLE учитывает относительную ошибку, а не абсолютную:

• Ошибка между 1000 и 2000 ≈ ошибке между 1 и 2
• В RMSE первая ошибка была бы в 1000 раз больше!

3. Устойчивость к выбросам

Поскольку используется логарифм, большие значения не доминируют в метрике так сильно, как в RMSE.

---

Преимущества RMSLE

1. Подходит для данных с большим разбросом: Когда данные охватывают несколько порядков величины (например, от 1 до 1,000,000)
2. Устойчивость к выбросам: Не позволяет экстремальным значениям полностью доминировать в оценке ошибки
3. Соответствует человеческому восприятию: Люди часто воспринимают ошибки относительными, а не абсолютными
4. Работает с гетероскедастичными данными: Когда изменчивость данных непостоянна

---

Недостатки RMSLE

1. Сложность интерпретации: Не так интуитивна, как MAE или MAPE
2. Асимметричность: Не всегда желательно разное отношение к завышению и занижению
3. Не определена для отрицательных значений: Так как логарифм от отрицательного числа не определен
4. Чувствительность к малым значениям: Может быть чувствительна, когда и фактические, и предсказанные значения близки к нулю

---

Когда использовать RMSLE?

Идеальные случаи для RMSLE:

1. Прогнозирование продаж: Когда есть большие различия между продажами разных товаров
2. Предсказание цен на недвижимость: Цены могут варьироваться от десятков тысяч до миллионов
3. Прогнозирование спроса: От единичных покупок до массовых продаж
4. Предсказание веб-трафика: От нескольких посещений до вирусного контента
5. Работа с экспоненциальными распределениями

Пример из практики:

Задача: Предсказать ежедневные продажи в розничной сети:

• Одни товары продаются 1-2 штуки в день
• Другие — тысячи штук в день

RMSE будет доминироваться ошибками для товаров-хитов, игнорируя точность для нишевых товаров. RMSLE уравновешивает вклад всех товаров.

---

Сравнение с другими метриками

Ситуация	Факт	Прогноз	RMSE	RMSLE
Малая ошибка	100	90	10	0.105
Большая ошибка	1000	500	500	0.693
Относительная ошибка	10	5	5	0.693
Относительная ошибка	1000	500	500	0.693

Видно, что RMSLE дает одинаковую оценку для одинаковых относительных ошибок, независимо от масштаба.

---

Практическая реализация

В Python вычисление RMSLE выглядит так:

import numpy as np
 
def rmsle(y_true, y_pred):
    """
    Вычисляет RMSLE между фактическими и предсказанными значениями
    """
    # Добавляем 1 чтобы избежать log(0)
    log_true = np.log1p(y_true)  # log1p(x) = log(x + 1)
    log_pred = np.log1p(y_pred)
    
    squared_errors = (log_true - log_pred) ** 2
    return np.sqrt(np.mean(squared_errors))
 
# Пример использования
y_true = np.array([100, 1000, 50, 200])
y_pred = np.array([90, 1200, 70, 180])
 
print(f"RMSLE: {rmsle(y_true, y_pred):.4f}")

Резюме

RMSLE — это специализированная метрика, которая особенно полезна когда:

• Данные имеют большой разброс (несколько порядков величины)
• Относительные ошибки важнее абсолютных
• Вы хотите уменьшить влияние выбросов
• Занижение прогноза критичнее, чем завышение

Для стандартных задач с равномерно распределенными данными лучше подходят MAE или RMSE, но для специфических случаев с широким диапазоном значений RMSLE может быть оптимальным выбором.