Закон повторного логарифма

Закон повторного логарифма (ЗПЛ) — это одна из красивейших и самых точных теорем в теории вероятностей, которая завершает картину, нарисованную Усиленным законом больших чисел (УЗБЧ) и Центральной предельной теоремой (ЦПТ).

Смысл и контекст

Чтобы понять ЗПЛ, давайте выстроим последовательность:

1. Усиленный закон больших чисел (УЗБЧ): Говорит, куда стремится среднее.

   • ${\overline{X}}_n=\frac{S_n}{n}\to \mu$ почти наверное, где $S_n=X_1+...+X_n$.
   • Вывод: “Поезд” ${\overline{X}}_n$ в конечном счете приезжает на станцию $\mu$.

2. Центральная предельная теорема (ЦПТ): Говорит о распределении отклонений от среднего.

   • $\frac{S_n-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\stackrel{d}{\to }N(0,1)$
   • Вывод: “Колебания” поезда вокруг станции имеют форму “колокола” с шириной порядка $\sigma \sqrt{n}$.

3. Закон повторного логарифма (ЗПЛ): Точнейшим образом описывает границы этих колебаний. Он отвечает на вопрос: “Насколько сильно может “качнуться” поезд $S_n$ на своем пути к станции $n\mu$?”

---

Формулировка теоремы

Пусть $X_1,X_2,...,X_n$ — последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин с конечным средним $\mathbb{E}[X_i]=\mu$ и конечной дисперсией $\text{Var}(X_i)={\sigma }^2>0$.

Обозначим частичную сумму как $S_n={\sum }_{i=1}^n{X}_i$.

Тогда закон повторного логарифма утверждает, что для нормированной суммы почти наверное выполняется:

$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{S_n-n\mu }{\sigma \sqrt{2n\ln \ln n}}=1$$

и

${\mathrm{liminf}}_{n\to \infty }\frac{S_n-n\mu }{\sigma \sqrt{2n\ln \ln n}}=-1$

---

Разберем формулу на части

1. $S_n-n\mu$ — это отклонение суммы от ее среднего значения. Это то, насколько мы “уехали” от ожидаемого маршрута.

2. $\sigma \sqrt{n}$ — это “масштаб” флуктуаций, который нам подсказывает ЦПТ. ЗПЛ уточняет, что нужен чуть более тонкий масштаб.

3. $\sqrt{2\ln \ln n}$ — вот главная “изюминка” закона.

   • $\ln \ln n$ — это повторный (двойной) логарифм. Он растет невероятно медленно.
     • $\ln \ln 10\approx 0.83$
     • $\ln \ln 1000\approx 1.93$
     • $\ln \ln 10^6\approx 2.63$
     • $\ln \ln 10^9\approx 3.03$
   • Даже для астрономически больших $n$ этот множитель остается небольшим.

4. $\mathrm{limsup}$ (верхний предел) — это наибольшая из всех предельных точек последовательности. ЗПЛ говорит, что наша нормированная последовательность будет бесконечно часто подходить сколь угодно близко к +1, но почти никогда не превысит эту границу.

Графическая интерпретация (Самое главное!)

ЗПЛ определяет “трубу” или “коридор”, внутри которого почти наверное происходит блуждание частичных сумм.

$n\mu -\sigma \sqrt{2n\ln \ln n}\lesssim S_n\lesssim n\mu +\sigma \sqrt{2n\ln \ln n}$

Более точно, траектория $S_n$ будет:

• Бесконечно часто касаться верхней границы $n\mu +\sigma \sqrt{2n\ln \ln n}$.
• Бесконечно часто касаться нижней границы $n\mu -\sigma \sqrt{2n\ln \ln n}$.
• Почти никогда не выходить за эти пределы.

Если бы мы взяли чуть более узкий коридор, например, с множителем $(1-\epsilon )$, то траектория в конечном счете навсегда осталась бы внутри него.

---

Пример для честной монеты ($\mu =0,\sigma =1$)

Пусть $X_i=\pm 1$ с вероятностью 1/2. Тогда $S_n$ — это разность между количеством орлов и решек.

ЗПЛ для этого случая принимает вид: ${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }\frac{S_n}{\sqrt{2n\ln \ln n}}=1$

Это значит, что с вероятностью 1 найдутся сколь угодно большие $n$, для которых $S_n$ (выигрыш в серии испытаний) будет превышать $(1-\epsilon )\sqrt{2n\ln \ln n}$.

Численная иллюстрация: Для $n=10^6$ (миллион подбрасываний):

• Стандартное отклонение: $\sqrt{n}=1000$.
• “ЗПЛ-поправка”: $\sqrt{2\ln \ln (10^6)}\approx \sqrt{2\cdot 2.63}\approx 2.3$.
• Верхняя граница ЗПЛ: $\approx 1000\cdot 2.3=2300$.

Таким образом, при миллионе бросков мы можем иногда увидеть отклонение в пользу одной из сторон примерно в 2300 “очков”, но существенно большие отклонения практически невозможны.

---

Значение и приложения

1. Точность: ЗПЛ дает асимптотически точные границы для флуктуаций случайных блужданий. Это “последнее слово” в описании их поведения.

2. Теория риска: В финансовой математике помогает оценивать “хвостовой риск” и экстремальные движения цен.

3. Тестирование случайности: Если псевдослучайный генератор produces последовательность, которая consistently нарушает границы ЗПЛ, он плохой.

4. Связь с броуновским движением: Через принцип инвариантности Леви ЗПЛ для случайных блужданий переносится на броуновское движение, описывая его поведение вблизи нуля и бесконечности.

Итог: Закон повторного логарифма — это утонченный и завершающий результат, который показывает, что даже самые экстремальные флуктуации частичных сумм подчиняются строгому и элегантному закону, в котором двойной логарифм играет ключевую роль.