Условная вероятность

Условная вероятность — это одно из самых важных и интуитивно понятных понятий в теории вероятностей.

Простое определение

Условная вероятность — это вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Мы как бы сужаем все возможные исходы до тех, которые соответствуют известному нам условию, и смотрим, насколько вероятно в этих новых обстоятельствах интересующее нас событие.

---

Обозначение и формула

Условная вероятность события A при условии, что событие B произошло, обозначается как P(A|B).

Формула для её вычисления:

P(A|B) = P(A и B) / P(B), при условии, что P(B) > 0.

Давайте разберем формулу:

• P(A и B) — это вероятность того, что события A и B произойдут одновременно.
• P(B) — это вероятность события-условия B.
• Делим одну вероятность на другую, чтобы “нормировать” все вероятности на новое, уменьшенное пространство исходов (где B уже случилось).

---

Ключевая идея на примере

Представьте, что вы бросаете игральный кубик.

• Событие A: Выпадет число 2.
• Событие B: Выпадет четное число (2, 4 или 6).

1. Безусловная вероятность P(A):

   • Сколько всего исходов? 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6).
   • Благоприятных исходов для A: 1 (число 2).
   • P(A) = 1/6.

2. Теперь рассмотрим условную вероятность P(A|B): “Какова вероятность, что выпало число 2, если мы знаем, что выпало четное число?”

   • Мы получили новую информацию — результат четный. Это наше условие.
   • Теперь наше пространство исходов сузилось. Возможных исходов больше не 6, а только 3 (2, 4, 6).
   • Среди этих трех исходов благоприятным для события A (выпадение двойки) является только один.
   • Поэтому P(A|B) = 1/3.

3. Проверим по формуле:

   • P(A и B) — вероятность того, что выпало и четное число, и число 2. Это возможно только если выпала 2. $P(AиB)=1/6$.
   • P(B) — вероятность выпадения четного числа. $P(B)=3/6=1/2$.
   • P(A|B) = (1/6) / (1/2) = (1/6) * 2 = 1/3.

Результат совпал с нашим интуитивным расчетом.

---

Зачем это нужно?

1. Основа для теоремы Байеса: Как вы видели в предыдущих ответах, условная вероятность — это строительный блок для теоремы Байеса, которая позволяет “переворачивать” условия: переходить от P(B|A) к P(A|B).

2. Анализ зависимых событий: Понятие условной вероятности помогает понять, связаны ли события между собой.

   • Если $P(A|B)=P(A)$, то события A и B независимы. Знание о том, что B произошло, не меняет вероятность A. (Пример: вероятность выпадения орла не зависит от результата предыдущего броска).
   • Если $P(A|B)\ne P(A)$, то события зависимы. (Пример: вероятность того, что идет дождь, зависит от того, тучи на небе или нет).

3. Принятие решений в условиях неопределенности: В медицине, финансах, машинном обучении мы постоянно имеем дело с неполной информацией. Условная вероятность позволяет уточнять прогнозы по мере поступления новых данных.

Визуализация

Очень помогает диаграмма Венна. Представьте прямоугольник (все возможные исходы) и внутри него два пересекающихся круга A и B.

• P(A) — это площадь круга A, деленная на площадь всего прямоугольника.
• P(A|B) — это площадь пересечения A и B, деленная на площадь круга B. Мы как бы говорим: “Теперь вся вселенная для нас — это круг B. Какая часть этой вселенной также принадлежит и кругу A?”

Итог

Условная вероятность P(A|B) — это количественная мера того, как изменились наши ожидания относительно события A после того, как мы узнали, что событие B произошло. Это фундаментальный инструмент для рассуждений в условиях неопределенности.