MCAR-пропуски

MCAR-пропуски (Missing Completely At Random — «пропуски полностью случайны») — это самый «безобидный» механизм пропусков, при котором вероятность пропуска не зависит ни от каких данных: ни от наблюдаемых переменных, ни от самих пропущенных значений. Пропуск происходит как бы случайно, независимо от состояния объекта.

1. Формально

Пусть:

$Y$ — полные данные, которые делятся на $Y_{obs}$ (наблюдаемые) и $Y_{mis}$ (пропущенные);
$R$ — индикатор наблюдения: $R = 1$ , если значение наблюдаемо, $R = 0$ , если пропущено.

Тогда MCAR означает:

P (R ∣ Y_{obs}, Y_{mis}) = P (R)

То есть вероятность пропуска не зависит ни от наблюдаемых, ни от ненаблюдаемых значений. Она просто константа для всех наблюдений (или может зависеть от переменных, не входящих в анализ, но не от $Y$ ).

2. Сравнение с MAR и MNAR

Механизм	Что означает	Пример
MCAR	Пропуск не зависит ни от каких данных	Анкеты потерялись при пересылке; прибор случайно сломался
MAR	Пропуск зависит только от наблюдаемых данных	Мужчины реже указывают доход, но если мы знаем пол, возраст и образование, пропуск дохода уже не зависит от самого дохода
MNAR	Пропуск зависит от самих пропущенных значений	Люди с очень высоким доходом не указывают доход даже после учёта пола и возраста

MCAR — это частный случай MAR. Если данные MCAR, то они автоматически и MAR. Обратное неверно.

3. Примеры MCAR

Часть анкет потерялась на почте.
Пробирки случайно разбились в лаборатории.
Датчик случайно отключился на несколько минут.
Респондент не ответил на вопрос, потому что случайно пропустил страницу.
Файлы случайно удалились при передаче данных.

Важно: если пропуск связан с чем-то, что не измеряется и не связано с $Y$ , это всё ещё может быть MCAR. Но на практике MCAR — сильное и часто нереалистичное предположение.

4. Последствия

Если MCAR выполняется

Анализ по полным случаям (complete-case analysis) даёт несмещённые оценки. Мы просто теряем часть данных и эффективность, но не получаем систематической ошибки.
Доступные методы (LMM, множественная импутация, FIML) также корректны.
Пропуски можно игнорировать в том смысле, что механизм пропуска не нужно моделировать.

Если MCAR не выполняется

Complete-case analysis может быть смещённым.
Нужны методы, предполагающие MAR (LMM, MI, FIML), или, при MNAR, анализ чувствительности и специальные модели.

5. Как проверить MCAR

Полностью доказать MCAR нельзя, но можно попытаться отвергнуть:

Тест Литла (Little’s MCAR test) — проверяет, различаются ли средние и ковариации между группами с разными паттернами пропусков.
Сравнение наблюдаемых и пропущенных групп по другим переменным: t-тесты, хи-квадрат.
Логистическая регрессия: моделируем $R$ (пропуск/наблюдение) как функцию наблюдаемых переменных. Если значимых предикторов нет — это согласуется с MCAR.
Визуальный анализ: графики пропусков, heatmaps.

Если тест не отвергает MCAR, это не доказывает, что MCAR верно — просто нет свидетельств против. При больших выборках тест может находить тривиальные отклонения.

6. В контексте смешанных моделей

LMM и GLMM корректны при MAR. Поскольку MCAR — частный случай MAR, они корректны и при MCAR.
Если данные MCAR, можно использовать и более простые методы (complete-case), но смешанные модели всё равно предпочтительнее, потому что:
- используют все доступные наблюдения;
- учитывают корреляцию внутри кластеров;
- дают более эффективные оценки.
При MCAR пропуски игнорируемы (ignorable) — не нужно явно моделировать механизм пропуска.
При подозрении на MNAR нужен анализ чувствительности, даже если тест не отверг MCAR.

7. Кратко

MCAR-пропуски — это пропуски, вероятность которых не зависит ни от наблюдаемых, ни от ненаблюдаемых данных. Это самый сильный и самый простой механизм: пропуски полностью случайны. При MCAR анализ по полным случаям несмещён, а смешанные модели корректны. Однако MCAR редко выполняется на практике, и его нельзя надёжно доказать — можно лишь не отвергнуть. Если MCAR не выполняется, переходят к MAR или MNAR и используют соответствующие методы.

LDS