Пространство элементарных исходов

Пространство элементарных исходов (часто обозначается греческой буквой Ω “Омега”) — это множество всех возможных и взаимно исключающих результатов некоторого случайного эксперимента.

Проще говоря, это полный список всех “атомарных” событий, которые могут произойти в рамках вашего эксперимента, причем так, что в результате эксперимента происходит ровно один из этих исходов.

---

Ключевые характеристики

1. Элементарность: Каждый исход — это самый простой, неделимый результат эксперимента. Его нельзя упростить.

2. Взаимное исключение: Если в эксперименте произошел один исход, другие произойти не могут.

3. Полнота: В список входят все без исключения возможные результаты. Пространство исходов покрывает всю “вселенную возможностей” для этого эксперимента.

Каждый отдельный исход обозначается маленькой греческой буквой ω (“омега”).

---

Примеры

Давайте рассмотрим эксперименты, которые мы уже обсуждали.

Пример 1: Подбрасывание монеты

• Случайный эксперимент: Один бросок монеты.

• Пространство элементарных исходов (Ω): {Орел, Решка}

• Пояснение: Есть два возможных простейших результата. Исход “Орел” — элементарен, его не разбить на более мелкие.

Пример 2: Бросок игрального кубика

• Случайный эксперимент: Один бросок стандартного шестигранного кубика.

• Пространство элементарных исходов (Ω): {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Пояснение: Выпадение конкретной грани с числом — элементарный исход.

Пример 3: Подбрасывание двух монет

• Случайный эксперимент: Одновременный бросок двух разных монет (например, рубля и пятака).

• Пространство элементарных исходов (Ω): { (Орел, Орел), (Орел, Решка), (Решка, Орел), (Решка, Решка) }

• Пояснение: Здесь важно учитывать каждую монету. Исход (Орел, Решка) означает “на первой монете (рубль) орел, на второй (пятак) решка”. Это элементарный исход. Обратите внимание, что (Орел, Решка) и (Решка, Орел) — это разные исходы!

Пример 4: Выбор шарика из мешка

• Случайный эксперимент: В мешке 2 красных (К) и 1 синий (С) шарик. Наугад вытаскиваем один.

• Пространство элементарных исходов (Ω): {К1, К2, С}

• Пояснение: Хотя шарики одного цвета, мы можем мысленно пометить их как К1 и К2, чтобы подчеркнуть, что это разные, но равновозможные элементарные исходы.

Пример 5: Время безотказной работы лампочки

• Случайный эксперимент: Включить лампочку и замерить, сколько часов она проработает до перегорания.

• Пространство элементарных исходов (Ω): { t | t ≥ 0 } (все неотрицательные действительные числа).

• Пояснение: В этом случае пространство исходов бесконечно и непрерывно. Элементарный исход — это конкретное число часов, например, ω = 1250.3 часа.

---

Зачем это нужно?

Пространство элементарных исходов — это фундамент для всего здания теории вероятностей.

1. Определение событий: Любое событие — это просто подмножество пространства элементарных исходов.

   • Вернемся к кубику (Ω = {1,2,3,4,5,6}).

   • Событие A = “выпало четное число” — это не элементарный исход, а совокупность исходов. A = {2, 4, 6}, что является подмножеством Ω.

   • Событие B = “выпало число больше 4” — это B = {5, 6}.

2. Вычисление вероятностей: В классическом подходе вероятность события вычисляется как отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих событию, к общему числу элементарных исходов в Ω.

   • Для события A (“четное число”):

   • Благоприятные исходы: {2, 4, 6} — их 3.

   • Всего исходов в Ω: 6.

   • Вероятность P(A) = 3 / 6 = 0.5.

Итог

Пространство элементарных исходов — это полный и неделимый перечень всех простейших результатов случайного эксперимента. Это отправная точка для формального описания неопределенности, на основе которой строятся все более сложные понятия — события и их вероятности.